Uno de los contenidos más característicos del curso de matemática es el de ecuaciones. Es frecuente que al criticar el bajo rendimiento de un estudiante se escuchen expresiones como ¡no sabe ni resolver una ecuación! Ciertamente que nuestros estudiantes resuelvan ecuaciones se convierte en uno de los principales objetivos del curso, pero es importante que seamos cuidadosos en esto. Que un estudiante no sepa resolver ecuaciones no significa que no sepa matemáticas, tampoco que no tenga capacidad para aprenderlas ni mucho menos que no pueda usarlas en su vida diaria.  

Recordemos que, en principio, una ecuación es una igualdad. Pero no toda igualdad es una ecuación. Así por ejemplo 7-2=4+1 es una igualdad pero no una ecuación. Esta igualdad contiene operaciones con valores conocidos (7-2 y 4+1) cuyos resultados nos llevan al mismo valor, en este caso 5, verificándose la igualdad. Lo que caracteriza a una ecuación es que la igualdad contiene valores desconocidos que pretendemos encontrar. Estos valores desconocidos se denominan incógnitas. Por ejemplo la igualdad        5x-1=3x+7 contiene un valor desconocido o incógnita representado por x. 

Las ecuaciones se clasifican de diferentes formas. Según su número de incógnitas tenemos ecuaciones de una, dos, tres o más variables. Según su naturaleza pueden ser algebraicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas o trascendentes. Las ecuaciones algebraicas comprenden las polinomiales, racionales e irracionales. En la educación básica, además de los muy comunes sistemas de ecuaciones lineales, son las polinomiales las ecuaciones que se trabajan con mayor frecuencia. Según su grado este tipo de ecuaciones pueden ser lineales, cuadráticas, cúbicas o en general de grado superior y, según sus coeficientes tenemos las ecuaciones polinomiales de coeficientes numéricos y de coeficientes literales. Según el número de soluciones tenemos las ecuaciones compatibles determinadas (solución única), compatibles indeterminadas (infinitas soluciones) e incompatibles (no tiene solución). También existen las ecuaciones diferenciales consideradas en los cursos de cálculo de la educación superior. Aspecto central de una ecuación es si esta tiene o no solución en un conjunto dado. Se denomina solución de una ecuación al valor o conjunto de valores de la(s) incógnita(s) que verifican la igualdad. Así en la ecuación x-4=2-x podemos afirmar que 3 es solución de dicha ecuación pero 1 no lo es. En efecto, si en la ecuación propuesta hacemos que x tome el valor 3 tenemos 3-4=2-3, esto es -1=-1 verificándose la igualdad. Pero si hacemos que x tome el valor 1 resulta 1-4=2-1, esto es  -3=1 donde vemos no se verifica la igualdad. 

Resolver una ecuación significa encontrar el valor (o valores) de la(s) incógnita(s) que verifica(n) la ecuación propuesta o demostrar que ella no tiene solución. Esto supone 1) la elaboración del plan de solución o estrategia; 2) la aplicación de técnicas que reduzcan la ecuación permitiendo identificar su tipo; y 3) la aplicación del método que corresponda según el tipo de ecuación reducida que resulte. Por ejemplo en la imagen se muestra una ecuación I que podemos planear resolverla manualmente efectuando los productos indicados y simplificando términos semejantes. Esto la reducen a la ecuación cuadrática II que puede resolverse por algún método tradicional (factorización, fórmula general o completando cuadrados). En este caso los números reales -1 y 6 son las soluciones reales de dicha ecuación.  

Manualmente es la forma por la que, esencialmente, se buscan resolver las ecuaciones, sobre todo las algebraicas polinomiales. Esto involucra al menos dos etapas estrictamente procedimentales, una la técnica para reducir la ecuación a una forma conocida y la otra el método para resolver la ecuación según su forma reducida conocida. En nuestro medio, sobre todo en los últimos años de la secundaria, los ejercicios de ecuaciones tienen una alta carga procedimental. Suele pensarse que cuantos más pasos demande llegar a la ecuación reducida entonces más difícil es la ecuación y por tanto mayor nivel matemático alcanzado. Ejercicios de este tipo son recomendables para estudiantes con aptitudes matemáticas innatas, pero estos son la minoría. Podemos encontrar en los libros de texto ejercicios relacionados con geometría o física que terminan reduciéndose a ecuaciones polinomiales. No cabe duda de la importancia que tienen las ecuaciones en las matemáticas, pero no se debe abusar de ellas. Resolver ecuaciones en forma manual es solo una estrategia a seguir. En un sistema educativo con alta carga procedimental puede pensarse que un estudiante no aprendió matemáticas si es que este no aplica correctamente los procedimientos. Bajo este marco si el estudiante E no sabe resolver ecuaciones y un ejercicio del tema T termina reduciéndose a una ecuación, entonces E no podrá llegar a la solución del ejercicio del tema T. Si E es evaluado en el tema T y la evaluación comprende un conjunto de ejercicios con características procedimentales similares, entonces es casi un hecho que E no aprobará la evaluación lo que llevaría a pensar que E no aprendió el tema T. Pero esto no es necesariamente cierto. La evaluación constataría que E no sabe resolver ecuaciones ejercicios del tema T que se reducen a ecuaciones pero no es evidencia que no se haya aprendido nada del tema T.

Un estudiante que resuelva este tipo de ecuaciones desarrolla ciertas habilidades matemáticas pero esto no significa, necesariamente, que haya aprendido matemática. Menos aún que las sepa usar en su vida cotidiana. De poco habría servido haber resuelto una ecuación si no se sabe el ¿para qué? o ¿por qué? de esta solución. Hoy en día se busca que los estudiantes valoren la importancia que tienen las matemáticas en la vida cotidiana. De este modo las ecuaciones deberían surgir, casi de forma espontánea, involucrando una incógnita que represente algo que nos interese encontrar. El enfoque de aprendizaje basado en problemas (ABP) permite conectar conceptos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana. El ABP permite trabajar capacidades como formular hipótesis, elaborar estrategias y tomar decisiones, además de la oportunidad en consultar fuentes, trabajar en equipo e interpretar la solución obtenida. Cuando el tema de ecuaciones abusa de los procedimientos la ejecución de estos consumen mucho tiempo y se desperdicia la oportunidad de trabajar capacidades más importantes como las señaladas. Las habilidades toman importancia según la necesidad de ellas en un momento y contexto dado, algunas caducan y otras pierden importancia. La resolución manual de ecuaciones es solo una vía y las habilidades que se trabajan por esta vía no son tan importantes como lo eran hace unas décadas. Cuánto más compleja la ecuación, entonces más limitado se siente este camino para llegar a la solución. Existen otras formas de hacerlo como con ayuda de la calculadora científica, un software especializado o alguna aplicación específica. La tecnología nos ha permitido resolver ecuaciones complejas con rapidez y precisión. Si la matemática es importante en la vida cotidiana y la tecnología forma parte de nuestras vidas, resulta razonable incorporar gradualmente el uso de ella como un recurso para resolver ecuaciones. El tiempo ganado con ellas permite compartir, discutir y reforzar las estrategias seguidas así como mostrar otros casos donde poder usar estrategias o contenidos matemáticos similares.

En matemáticas siempre será posible encontrar una ecuación más difícil por resolver. La dificultad de un ejercicio se relaciona en forma inversa con las habilidades que se tienen para resolverlo. Así una ecuación es considerada difícil cuantos más pasos requiera llegar a su solución. La dificultad es relativa ya que lo que es difícil para uno no siempre lo es para otro. Un estudiante hábil en la resolución manual de ecuaciones puede considerar que la ecuación I tiene dificultad media-baja. Pero lo que es fácil (o difícil) en un momento dado en otro momento ya no lo es. Así la ecuación III mostrada en la imagen, que en estricto tiene la misma forma que la ecuación I, puede parecer ahora de dificultad media-alta al estudiante hábil. La diferencia está en lo engorroso de los pasos. De aquí que la afirmación ¡no sabe resolver ecuaciones! es muy abierta. La próxima vez que escuche este tipo de afirmación (o cualquier otra relacionada con el desempeño en algún contenido matemático) pregunte ¿qué tipo de ecuaciones no supo resolver?, ¿cuántos pasos demanda resolver las ecuaciones que no supo resolver?, ¿no pudo reducir la ecuación a una forma conocida?, ¿no supo resolver la ecuación en su forma conocida?, ¿se les permite resolver la ecuación con ayuda de la tecnología? Pero sobre todo pregunte ¿dónde se usa esto en la vida cotidiana?, ¿esto es relevante para desempeñarse con seguridad en la vida cotidiana?